\right] \end{array} \left[ \left[ \] A^{-1} + A^{-1}BS_A^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS_A^{-1}\\ \right] \end{array} \end{align*} -1 & 3 \end{array} = 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ \begin{array}{cc} \end{array} \begin{array}{c} $$, $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$,$\boldsymbol{u}, \, \boldsymbol{v} \in \mathbb{C}^{n \times 1}$( $n$ 次列ベクトル)とする.$A + \boldsymbol{u} {}^{t}\boldsymbol{v}$ が正則であるとき,次が成り立つ., \[ \[ A&B\\ Q & O \\ O & R \right] \right] \], $M \in \mathbb{C}^{n \times n}$ が正則であるとする.$A, B \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を用いて &= \biggl(D^{-1} + CA^{-1}B\biggr)^{-1} \], である.したがって = 4×4行列の逆行列の公式. \right] \end{array} このページでは、「\(2×2\) 行列の逆行列の求め方」と「\(3×3\) 行列の逆行列の求め方」を具体例 . \end{align*} P+AR = E_m, \quad S = E_n , \quad Q + AS = O_{m,n}, \quad R = O_{n,m} \right] \] = \] が成り立つ., 行列 与えられた正方行列の逆行列を求める方法,具体的な計算例を解説します。なお,公式の証明は線形代数の教科書を参照して下さい。, $A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ の逆行列は,$A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$, 以下,一般の $n\times n$ の正方行列の逆行列を求める二通りの方法を解説します(具体例は3×3の場合のみ)。, 横長の行列$(A\:\:I)$ に行基本変形を繰り返し行って$(I\:\:B)$ になったら,$B$ は $A$ の逆行列である。, 行基本変形とは以下の三つの操作です。 \right] \right] -1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ である.Theorem 11 より, $$ \textrm{Rot}(x, \theta) = \left[ \], Theorem 9-a と 9-b において,行列 $M$ の分割を同じに設定したとすれば,各ブロックに等号が成立する.例えば, \[ ただし,行列 $D$ が正方行列となるように分割した.行列 $A$ および $D$ が正則であり,$A, \, D$ に関するSchur補行列 \right] + \frac{i}{4} \left[ \right] \right]^{-1} アタリマエ! 統計学. Q & QS \\ PQ & PQS+R \[ O_{n,m} & E_n \right]. 残り6個も同様に計算できて,逆行列は &= AC + iAD + iBC-BD = (AC-BD) + i(AD + BC) 最後に操作1を二行目と三行目に適用して左側を単位行列にする: \begin{array}{cc} \begin{array}{cccc|cccc} $$, となるから,両辺の実部と虚部を比較して &= (E_n + A^{-1}BDC)^{-1}A^{-1} \\ 数字にまつわる話; 暗記法まとめ. \[ E & S \\ O & E \begin{array}{cc} \[ \end{array} 0 & 0 & 1 & c \\ = S_D^{-1} & -A^{-1}BS_A^{-1}\\ \[ \end{array} C&D \right]\left[ \right] \begin{array}{cc} S_D = A-BD^{-1}C \begin{array}{cc} -2 \\ P & Q\\ \left[ \right] \begin{array}{cc|c} \begin{array}{cc} \] 1 & 0 & -1 & 0 A^{-1} & O \\ O & S_A^{-1} A&B\\ \end{array} (A + BDC)^{-1} B & A \left[ E & -A^{-1}B \\ O & E が成り立つ., \[ i & -1 & -i & 1 M = \left[ (A + \boldsymbol{u} \, {}^{t}\!\boldsymbol{v})^{-1} = A^{-1}-\frac{1}{1 + {}^{t}\!\boldsymbol{v} A^{-1} \boldsymbol{u}} A^{-1} \boldsymbol{u} \, {}^{t}\!\boldsymbol{v} A^{-1} \right] = A + iB S_D = A-BD^{-1}C M = \left[ ただし,行列 $D$ が正方行列となるように分割した.行列 $A$ が正則であり,$A$ に関するSchur補行列 \] \left[ AC-BD = E_n , \quad AD + BC = O_n \] 2 \begin{array}{cc} \end{array} B & A = \begin{array}{cc} \end{array} \end{align*} ただし,行列 $D$ が正方行列となるように分割した.行列 $D$ が正則であり,$D$ に関するSchur補行列 \begin{array}{cc} \right] \\ を得る.また,Proposition 6 および 7 の結果から が成り立つ.したがって1つ目,3つ目の式に左から $A^{-1}$ を,2つ目,4つ目の式に左から $B^{-1}$ を掛けて C&D \], \[ \right] $\det A=(-1)(-2)\cdot 2-1\cdot 1\cdot 2-1\cdot 1\cdot (-2)=4$ A & B \\ C & D \right]^{-1} = \left[ 2 \end{array} \left[ \right] \[ \textrm{Rot}(x , \theta)^{-1} = \textrm{Rot}(x ,-\theta) \right] $$, 次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。, 体 $K$ 上の $m \times n$ 行列を $K^{m \times n}$ で表す.ここでは $K = \mathbb{R}$ または $K = \mathbb{C}$ を考える., $E_n$ を $n$ 次の単位行列とする.特にサイズが明らかな場合は $n$ を省略して,単に $E$ と表記する., $O_{m,n}$ を $m \times n$ 零行列とする.$m = n$ である場合は $O_m$ と表記する.. C & -D \\ A^{-1} & O \\ O & S_A^{-1} M = \left[ \left[ \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} \] \[ \[ \end{array} O_{n,m} & B \begin{array}{cc} A & O_{m,n}\\ \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} \] \left[ A&B\\ \left[ \begin{array}{cc} Q = \left[ \] \left[ \end{array} R & S \right] \right] (E+P)^{-1} \] $$, が成り立つ.ここで2つ目の等号は $(PQ)^{-1} = Q^{-1}P^{-1}$,3つ目の等号はLemma 2,5~7つ目の等号はLemma 3を繰り返し用いた., 仮定より $A$ および $A + BDC$ は正則であるから,$E + A^{-1}BDC$ は正則である., また,Lemma 3 の補足と $A^{-1}$ が正則であることから,$E+BDCA^{-1}$ は正則である., なお,6つ目の等号は正方行列 $BDC$ に Lemma 3 を適用した.$n > m$ ならば $BDC$ は正則ではないが,$E+BDCA^{-1}$ は正則である., また,$E_m + DCA^{-1}B$ が正則であると仮定すれば,Lemma 3を用いて, \[ Excelのワークシート関数で逆行列を求めるものは MINVERSE(元の行列の範囲) なので,これを利用する., (i) 分母が3桁までの分数になるときは,下記のように分数で表示することができる.このとき,負の分数は帯分数として表示され,整数部分にのみ符号が付けられる.例 -3 1/3 = -10/3 のこと, (ii) 元の行列の各成分が整数であるのに,分母が4桁以上の分数になるようなときは,後に述べるように逆行列の計算において, (各成分が数値として与えられた行列の行列式を求めるには1)のExcelによる方法で十分である., 質問1 AA_~=Aの行列式としていますが、余因子行列とは、のところで、なぜ、A_~Aの順でかけているんでしょうか? 1 & -2 \\ A & -B \\ \hline &= \left[ \end{align*} -1 & 3 -5 & 0 &2 \\ \hline \boldsymbol{v}, \, D = E_n$ を代入すればよい., $A \in \mathbb{C}^{m \times m}$,$B \in \mathbb{C}^{n \times n}$ とする.$A, \, B$ が正則であるとき,次が成り立つ:, \[ \end{array} \end{array} $$, 正則行列 $M$ を次のようにブロック分割する: \textrm{rank}(PQ) \leqq \textrm{min}\bigl(\textrm{rank}(P), \textrm{rank}(Q)\bigr) \leqq n < m を $M$ の $D$ に関する Schur補行列 という., 正則行列 $M$ を次のようにブロック分割する: \end{array} \[ = \], $P \in \mathbb{C}^{m \times m}$,$Q \in \mathbb{C}^{m \times n}$,$R \in \mathbb{C}^{n \times m}$,$S \in \mathbb{C}^{n \times n}$ に対して, \[ (E_m + DCA^{-1}B)^{-1}D BC+AD & -BD+AC \[ \] \begin{array}{cccc} Q^{-1} A&B\\ \left[ 0 & -1 & 0 & 1& -1 & 0 & 1 & 0 \\ \hline 1 & -1 & 1 & -1 \\ \[ A^{-1} & O_{m,n}\\ \end{array} $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&-3&1\\2&1&1\\-4&-2&2\end{pmatrix}$, どちらの方法にせよ計算ミスしやすいので,必ず検算しましょう($A$ と $A^{-1}$ の積が単位行列になっていることを確認!), 4×4以上だと余因子による方法はかなり厳しいです。掃き出し法をマスターしてください。. \], Theorem 4 に $B = \boldsymbol{u}$,$C = {}^{t} \! O_{n,m} & E_n S_A = D-CA^{-1}B, \quad S_D = A-BD^{-1}C E & -S \\ O & E が単位行列となるとき \left[ E & O \\ -CA^{-1} & E 1 & -2 \\ \[ \end{array} \right] \\ &= \left[ \right]\\ $\Delta_{11}=(-1)^2\det\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}=-2$ E_n & O_{n,m}\\ &= \biggl(\bigl((E_m + DCA^{-1}B)^{-1}D\bigr)^{-1}\biggr)^{-1} \\ &= \bigl(A(E_n + A^{-1}BDC)\bigr)^{-1} \\ \begin{align*} A&B\\ \] \end{array} \] のときAの逆行列が存在して. \end{array} \[ \end{array} 1&-2&-2\\ 0 & 1 & 0 & -1 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ が成り立つ., Theorem 9-a において $D$ および $A-BD^{-1}C$ が正則であるとき,Theorem 4 より, \[ \right] E & O \\ S & E \] \begin{array}{cc} $$, $P \in \mathbb{C}^{m \times n}$,$Q \in \mathbb{C}^{n \times m}$ に対して,行列 $E_m+PQ$ および $E_n+QP$ が正則であるとき \], $4$ 次正方行列 ・逆行列が常に存在するわけではなく、行列式=0の時は存在しない ・3×3以上のサイズの逆行列を求める際には『掃き出し法』を使う ・次回は、今回までの知識を使って「一次変換」と言われる分野を初めから見ていきます。 1 & 0 & -1 & 0& 0 & -1 & 0 & 1 \left[ A & B \\ C & D -1 & 1 & -1 & 1 \\ \end{array} \end{array} \end{array} P(E_n+QP) = P + PQP = (E_m+PQ)P \end{align*} S_D^{-1} = \left[ \textrm{det}(P) \textrm{det}(E+QP) = \textrm{det}(E+PQ)\textrm{det}(P) \right]^{-1} = \left[ \textrm{det}(E+QP) = \textrm{det}(E+PQ) \neq 0 E & O \\ -CA^{-1} & E = も正則であるとき 当ページでは、掃き出し方を使って逆行列を求める方法や実際に逆行列を求める手順を各ステップごとに丁寧に解説しています。 逆行列の求め方には、余因子行列を用いた方法もあり、そちらは余因子行列を用いた逆行列の求め方と例題に詳細に記載しました。 \right] = \right]^{-1} &= \frac{1}{4} \end{array} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \right] が成り立つ., $$ \left[ AP = E_m, \quad BS = E_n , \quad AQ = O_{m,n}, \quad BR = O_{n,m} \end{array} が成り立つから, $$ \end{array} &= A^{-1}-A^{-1}B (E_m + DCA^{-1}B)^{-1}DCA^{-1} \\ &= A^{-1}-A^{-1}BDCA^{-1}(E_n + BDCA^{-1})^{-1} \right] \begin{array}{cc} \] \right]^{-1} = \left[ \left(-\frac{1}{2}\right) \end{array} -1 & 3 \begin{array}{cc} Q = \left[ 逆行列に関連した公式についてのノート.逆行列補題(Woodburyの公式)やSchur補行列を用いたブロック行列の逆公式など. 自由気ままにWebノート. B & A \end{array} -1 & 0 & 1 & 0 \\ Q & O \\ O & R \begin{array}{cc} \right] \left[ \], $$ 0 \\ 0 Comments, 正則行列の逆行列,ブロック行列の性質に関連したいくつかの定理・公式についてのノート., 逆行列補題(Woodburyの公式),Schur補行列を用いたブロック行列の逆行列の表現,複素行列の実行列への埋め込みなどをまとめる., 行列 $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$,$B \in \mathbb{C}^{n \times m}$,$C \in \mathbb{C}^{m \times n}$ を考える.行列 $A, ~ A + BC, ~ E_m + CA^{-1}B$ が正則であるとき,次が成り立つ:, \[ $\Delta_{31}=(-1)^4\det\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}=1$ \right] \] \] \right] \left[ A&B\\ を上三角行列,ブロック対角行列,下三角行列の積に分解する(ブロックLDU分解).すなわち,適切なサイズの行列 $P, Q, R, S$ を用いて, \[ \begin{array}{cc} \end{array} \right]^{-1} 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & -1\\ \] \[ \end{array} に対して \end{array} C&D Q = \left[ \right] \[ \textrm{Trans}(a,b,c)^{-1} = \textrm{Trans}(-a,-b,-c) \right] A & E_m \begin{array}{cc} \] \] C&D &= \] \begin{array}{cc} 0 & -1 & 0 & 1 \\ $A^{-1}=\dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}-2&-3&1\\2&1&1\\-4&-2&2\end{pmatrix}$, ※2018/7/19 余因子の定義が間違っておりました,ご指摘ありがとうございましたm(_ _)m. © 2014--2020 高校数学の美しい物語 All rights reserved. \end{array} AP & AQ\\ P = A^{-1}, Q = O_{m,n}, \quad R = O_{n,m}, \quad S = B^{-1} \[ 余因子は \end{array} \end{array} \right]^{-1} \\ \begin{array}{rrrr} \[ E_m & A\\ である., $3$ 次正方行列 \end{array} \left[ 1 & 0 & -1 & 0 \\ = ただし,行列 $D$ が正方行列となるように分割した., 行列 $A$ が正則であるとき,行列 \begin{array}{rrrr} と表すとき,その逆行列は $C, D \in \mathbb{R}^{n \times n}$ を用いて $M^{-1} = C + iD$ と表すことができて \right] = \end{array} E & O \\ P & E $\begin{pmatrix}1&1&-1&1&0&0\\0&2&-1&2&1&0\\0&2&1&0&0&1\end{pmatrix}$ を得る.$A$ が左下にある場合も同様である., 正方行列 $M$ を次のようにブロック分割する: -S_A^{-1}CA^{-1} & S_A^{-1} の逆行列を 複素数が実装されていない計算機 を用いて求める., $Q$ を実部と虚部に分解すると \end{array} \begin{array}{cc} \left[ \end{array} \end{array} \begin{array}{c|c} \left[ \[ \], 「Sherman-Morrison-Woodbury の公式」「逆行列補題」と呼ぶこともある.また,これらの名称は以下に示す Theorem 4 のことを指す場合もある., 以下で証明する Theorem 4 において $D$ に $m$ 次の単位行列 $E_m$ を代入せよ., $$ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \hline \begin{array}{cc} \begin{array}{cc} 3 & 2 \\ \begin{array}{c} の両辺の行列式を考えれば \[ Q^{-1} & O \\ O & R^{-1} $$, が成り立つことに注意して &= A^{-1}-A^{-1}B(D^{-1} + CA^{-1}B)^{-1} CA^{-1} \begin{align*} \begin{array}{cc} 5/2 & -9/2 $$, 同次座標を用いた $3$ 次元空間の($x$軸周りの)$\theta$ 回転行列 -S_A^{-1}CA^{-1} & S_A^{-1} \begin{array}{cc} 行基本変形を適用して左半分を $I$ にするのが目標。まず一列目を見て,1行目の2倍を2行目に加える: E_n \begin{array}{cc} \right] \begin{align*} \right] A^{-1} + A^{-1}BS_A^{-1}CA^{-1} & -A^{-1}BS_A^{-1}\\ \begin{array}{cc} E_{2n} であり,2つ目,3つ目の式から -1 &3&3\\ \right] Tweet. -D^{-1}CS_D^{-1}&D^{-1}+D^{-1}CS_D^{-1}BD^{-1} \] \] \[ \end{array} \begin{array}{cc} -S_A^{-1}CA^{-1} & S_A^{-1} 3 & 2 \\ &= (E+P)^{-1}(E+P)-(E+P)^{-1}P \\ 1 & 0 & 0 & a \\ \right]^{-1} = \frac{1}{3 \cdot 1-2 \cdot 1} \end{array} O_{n,m} & B^{-1} \end{array} &= A^{-1}-(E_n + A^{-1}BDC)^{-1}A^{-1}BDCA^{-1} \\ C & -D \\ \end{array} \right]^{-1} 5/2&-9/2&-5 \right] と表現できるとする.あとは Theorem 9-a と同様に計算すればよい., 正則行列 $M$ を次のようにブロック分割する: 0 & 0 & 0 & 0 \\ \[ \begin{array}{cc} \right], C&D \begin{align*} (E_m+PQ)^{-1}P = P(E_n+QP)^{-1} \begin{array}{cc} \[ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \right] AB = BA = E \left(-\frac{1}{2}\right) 6 & 1 \right] = E_{2n} \begin{array}{ccc} \begin{array}{cc} \right] 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\